MAT1260 - Algèbre linéaire II (Hiver 2017)

  Horaire et salles du cours.

  Plan du cours et Entente d'évaluation.
[Respect de l'intégrité académique], [Reglement sur les infractions de nature académique], [Politique sur le harcèlement sexuel].

  Notes du cours.
      Ces notes sont en constante évolution et ne sont pas censées remplacer la presence en cours.

Si vous trouvez des erreurs dans les notes du cours (et il n'y en a), envoyez-moi un courriel avec votre nom et la liste des fautes. Comme récompense, je m'engage à vous payer un café toutes les dix corrections au café étudiant Sain Fractal.

  Feuilles d'exercices.

  Feuille d'exercices 1 (janvier 2017)
  Feuille d'exercices 2 (février 2017)
  Feuille d'exercices 3 (février 2017)
  Feuille d'exercices 4 (février 2017)
  Feuille d'exercices 5 (mars 2017)
  Feuille d'exercices 6 (mars 2017)
  Feuille d'exercices 7 (avril 2017)
  Feuille d'exercices 8 (avril 2017)

  Devoirs.

  Devoir 1 (à remettre avant le vendredi 20 janvier 2017)
  Devoir 2 (à remettre avant le lundi 6 mars 2017)
  Devoir 3 (à remettre avant le mardi 18 avril 2017)

  Examens.

  Examen de mi-session (10 mars 2017)
  Examen final (28 avril 2017)

Calendrier du cours

9 janvier: Présentation de l'entente d'évaluation. Espaces vectoriels sur un corps. Premiers resultats et exemples. [entente d'évaluation]
13 janvier: Espaces fonctionnels. Isomorphisme d'espaces vectoriels. Combinaisons linéaires. Sous-espaces vectoriels (projections, hyperplans). [Devoir 1]
16 janvier: Correction de l'entente d'évaluation. Intersection d'espaces vectoriels. Somme d'espace vectoriels. Sous-espaces vectoriels engendrés. Supplémentaire et somme directe d'espaces vectoriels. Vecteurs linéairement indépendants. [Entente d'évaluation]
20 janvier (Travaux Pratiques): Correction du Devoir 1.
23 janvier: Indépendance linéaire et combinaisons linéaires. Bases. Caractérisation des bases. Bases canoniques de Kⁿ et de Mat_{m × n}(K). [Feuille d'exercices 1]
27 janvier: Propriétés des bases. Dimension d'un espace vectoriel.
27 janvier (Travaux Pratiques): Correction de la Feuille d'exercices 1.
30 janvier: Complétion de base. Sous-espaces vectoriels en dimension finie. Formule de Grassmann. [Feuille d'exercices 2]
3 février: Isomorphisme entre un espace vectoriel de dimension n et Kⁿ. Changement de base. Bases infinies (suites numériques et polynômes). Base de l'espace fonctionnel. [Feuille d'exercices 3 (Partie 1)]
3 février (Travaux Pratiques): Correction de la Feuille d'exercices 2.
6 février: Applications linéaires. Composition d'applications linéaires. Espace vectoriel des applications linéaires. Formes linéries, espace dual, composantes d'une application linéaires. Endomorphismes, automorphismes et homothéties. [Feuille d'exercices 3]
10 février: Projections et syméries. Applications linéaires et bases. Isomorphismes et applications réciproques. Images de vecteurs par applications linéaires injectives et surjectives. [Feuille d'exercices 4 (Partie 1)]
10 février (Travaux Pratiques): Correction de la Feuille d'exercices 3 (exercices 1 à 6).
13 février: Isomorphisme et dimension d'espaces vectoriels. Application linéaires de Kⁿ à K^m. Noyau et image. Théorème du rang et ses conséquences. [Feuille d'exercices 4]
17 février: Alternative de Fredholm. Dimension d'un hyperplan. Matrice assosciée à une application linéaire. Espace des applications linéaires.
17 février (Travaux Pratiques): Correction de la Feuille d'exercices 3 (exercice 7) et de la Feuille d'exercices 4 (exercices 1 à 4).
20 février: Composition d'application linéaires. Groupe général linéaire. Polynôme d'un endomorphisme. Changement de bases. [Devoir 2]
24 février: Changement de bases. Rang d'une application. Déterminant et trace d'un endomorphisme. Formes multilinéaires alternées.
24 février (Travaux Pratiques): Correction de la Feuille d'exercices 4 (exercices 4 à 9).
6 mars: Questions et révision du cours. Correction du Devoirs 2.
10 mars: Examen de mi-session.
13 mars: Espace duale et espace biduale. Valeurs propres et vecteurs propres. Polynôme caractéristique.
17 mars: Spectre d'un endomorphisme. Sous-espaces propres. Somme directe de sous-espaces. Endomorphismes diagonalisables.
17 mars (Travaux Pratiques): Correction de l'Examen de mi-session.
20 mars: Caractérisation des endomorphismes diagonalisables. Puissance d'une matrice diagonalisable. [Feuille d'exercices 5]
24 mars: Suites récurrentes linéaires. Endomorphismes triangularisables. Polynômes annulateurs d'un endomorphisme.
24 mars (Travaux Pratiques): Correction de la Feuille d'exercices 5.
27 mars: Théorème de Hamilton-Caylay. Décomposition des noyaux. Forme diagonale par blocs. [Feuille d'exercices 6]
31 mars: Polynôme minimal.
31 mars (Travaux Pratiques): Correction de la Feuille d'exercices 6 (exercices 1 et 3).
3 avril: Endomorphismes nilpotents. Diagonalisation simultanée. Décomposition de Dunford. [Feuille d'exercices 7]
7 avril: Décomposition de Dunford. Décomposition de Jordan. Formes bilinéaires symétriques. [Devoir 3]
7 avril (Travaux Pratiques): Correction de la Feuille d'exercices 6 (exercice 2) et de la Feuille d'exercices 7.
10 avril: Formes bilinéaires symétriques et asymétriques. Matrice d'une forme bilinéaire. Décomposition d'une forme bilinéaire. Produit scalaire. Espaces euclidiens. Orthogonalité sur les espaces euclidiens.
21 avril: Norme euclidienne. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Norme associée à un produit scalaire. Théorème de Pythagore. Formes quadratiques. Matrice d'une forme quadratique. Orthogonalité sur les espaces quadratiques. Bases orthogonales. [Feuille d'exercices 8]
21 avril (Travaux Pratiques): Correction du Devoir 3]
24 avril: Signature d'une forme quadratique sur R. Classification des formes quadratiques sur C et sur R.
28 avril: Examen final.